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Theorem cdlemg2ce

Description: Utility theorem to eliminate p,q when converting theorems with explicit f. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 22-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg2.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemg2.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg2.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg2.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg2.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg2.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg2.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg2ex.u 
|- U = ( ( p .\/ q ) ./\ W )
cdlemg2ex.d 
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( q .\/ ( ( p .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemg2ex.e 
|- E = ( ( p .\/ q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemg2ex.g 
|- G = ( x e. B |-> if ( ( p =/= q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( p .\/ q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( p .\/ q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
cdlemg2ce.p 
|- ( F = G -> ( ps <-> ch ) )
cdlemg2ce.c 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ ( q e. A /\ -. q .<_ W ) ) /\ ph ) -> ch )
Assertion cdlemg2ce 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> ps )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg2.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemg2.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemg2.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemg2.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemg2.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemg2.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemg2.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemg2ex.u 
 |-  U = ( ( p .\/ q ) ./\ W )
9 cdlemg2ex.d 
 |-  D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( q .\/ ( ( p .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdlemg2ex.e 
 |-  E = ( ( p .\/ q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
11 cdlemg2ex.g 
 |-  G = ( x e. B |-> if ( ( p =/= q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( p .\/ q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( p .\/ q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
12 cdlemg2ce.p 
 |-  ( F = G -> ( ps <-> ch ) )
13 cdlemg2ce.c 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ ( q e. A /\ -. q .<_ W ) ) /\ ph ) -> ch )
14 simp2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> F e. T )
15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemg2cex 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) )
16 15 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) )
17 14 16 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) )
18 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
19 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> p e. A )
20 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> -. p .<_ W )
21 19 20 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ( p e. A /\ -. p .<_ W ) )
22 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> q e. A )
23 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> -. q .<_ W )
24 22 23 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ( q e. A /\ -. q .<_ W ) )
25 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ph )
26 18 21 24 25 13 syl31anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ch )
27 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> F = G )
28 27 12 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ( ps <-> ch ) )
29 26 28 mpbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ps )
30 29 3exp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> ( ( p e. A /\ q e. A ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) -> ps ) ) )
31 30 rexlimdvv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> ( E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) -> ps ) )
32 17 31 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> ps )