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Theorem cdlemg11aq

Description: TODO: FIX COMMENT. TODO: can proof using this be restructured to use cdlemg11a ? (Contributed by NM, 4-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg8.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg8.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg8.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg8.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg8.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg8.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion cdlemg11aq 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) =/= Q )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg8.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg8.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg8.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg8.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg8.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg8.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
9 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
10 simp31 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. T )
11 simp32 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. T )
12 simp33 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) )
13 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
14 simp2ll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A )
15 1 4 5 6 ltrncoat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ P e. A ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A )
16 7 10 11 14 15 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A )
17 simp2rl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A )
18 1 4 5 6 ltrncoat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ Q e. A ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A )
19 7 10 11 17 18 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A )
20 2 4 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ ( F ` ( G ` Q ) ) e. A ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) )
21 13 16 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) )
22 2 4 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
23 13 14 17 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
24 12 21 23 3netr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) =/= ( Q .\/ P ) )
25 1 2 3 4 5 6 cdlemg11a 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) =/= ( Q .\/ P ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) =/= Q )
26 7 8 9 10 11 24 25 syl123anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) =/= Q )