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Theorem cdlemeg46vrg

Description: TODO FIX COMMENT v_1 <_ r \/ g(s) p. 116 3rd line. (Contributed by NM, 3-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemef46g.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemef46g.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemef46g.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemef46g.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemef46g.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemef46g.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemef46g.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdlemef46g.d 
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemefs46g.e 
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemef46g.f 
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
cdlemef46.v 
|- V = ( ( Q .\/ P ) ./\ W )
cdlemef46.n 
|- N = ( ( v .\/ V ) ./\ ( P .\/ ( ( Q .\/ v ) ./\ W ) ) )
cdlemefs46.o 
|- O = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( N .\/ ( ( u .\/ v ) ./\ W ) ) )
cdlemef46.g 
|- G = ( a e. B |-> if ( ( Q =/= P /\ -. a .<_ W ) , ( iota_ c e. B A. u e. A ( ( -. u .<_ W /\ ( u .\/ ( a ./\ W ) ) = a ) -> c = ( if ( u .<_ ( Q .\/ P ) , ( iota_ b e. B A. v e. A ( ( -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( Q .\/ P ) ) -> b = O ) ) , [_ u / v ]_ N ) .\/ ( a ./\ W ) ) ) ) , a ) )
cdlemeg46.y 
|- Y = ( ( R .\/ ( G ` S ) ) ./\ W )
cdlemeg46.x 
|- X = ( ( ( F ` R ) .\/ S ) ./\ W )
Assertion cdlemeg46vrg 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> X .<_ ( R .\/ ( G ` S ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemef46g.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemef46g.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemef46g.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemef46g.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemef46g.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemef46g.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemef46g.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdlemef46g.d 
 |-  D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9 cdlemefs46g.e 
 |-  E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdlemef46g.f 
 |-  F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11 cdlemef46.v 
 |-  V = ( ( Q .\/ P ) ./\ W )
12 cdlemef46.n 
 |-  N = ( ( v .\/ V ) ./\ ( P .\/ ( ( Q .\/ v ) ./\ W ) ) )
13 cdlemefs46.o 
 |-  O = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( N .\/ ( ( u .\/ v ) ./\ W ) ) )
14 cdlemef46.g 
 |-  G = ( a e. B |-> if ( ( Q =/= P /\ -. a .<_ W ) , ( iota_ c e. B A. u e. A ( ( -. u .<_ W /\ ( u .\/ ( a ./\ W ) ) = a ) -> c = ( if ( u .<_ ( Q .\/ P ) , ( iota_ b e. B A. v e. A ( ( -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( Q .\/ P ) ) -> b = O ) ) , [_ u / v ]_ N ) .\/ ( a ./\ W ) ) ) ) , a ) )
15 cdlemeg46.y 
 |-  Y = ( ( R .\/ ( G ` S ) ) ./\ W )
16 cdlemeg46.x 
 |-  X = ( ( ( F ` R ) .\/ S ) ./\ W )
17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 cdlemeg46v1v2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> X = Y )
18 17 15 eqtrdi 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> X = ( ( R .\/ ( G ` S ) ) ./\ W ) )
19 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
20 19 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. Lat )
21 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R e. A )
22 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
23 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
24 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= Q )
25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cdlemeg46fvaw 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ P =/= Q ) -> ( ( G ` S ) e. A /\ -. ( G ` S ) .<_ W ) )
26 25 simpld 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ P =/= Q ) -> ( G ` S ) e. A )
27 22 23 24 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` S ) e. A )
28 1 3 5 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ R e. A /\ ( G ` S ) e. A ) -> ( R .\/ ( G ` S ) ) e. B )
29 19 21 27 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ ( G ` S ) ) e. B )
30 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. H )
31 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
32 30 31 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. B )
33 1 2 4 latmle1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R .\/ ( G ` S ) ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( R .\/ ( G ` S ) ) ./\ W ) .<_ ( R .\/ ( G ` S ) ) )
34 20 29 32 33 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( R .\/ ( G ` S ) ) ./\ W ) .<_ ( R .\/ ( G ` S ) ) )
35 18 34 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> X .<_ ( R .\/ ( G ` S ) ) )