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Theorem cdlemefrs29bpre1

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemefrs27.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemefrs27.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemefrs27.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemefrs27.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemefrs27.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemefrs27.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemefrs27.eq 
|- ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
cdlemefrs27.nb 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
cdlemefrs27.rnb 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / s ]_ N e. B )
Assertion cdlemefrs29bpre1 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> E. z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemefrs27.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemefrs27.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemefrs27.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemefrs27.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemefrs27.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemefrs27.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemefrs27.eq 
 |-  ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
8 cdlemefrs27.nb 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
9 cdlemefrs27.rnb 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / s ]_ N e. B )
10 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemefrs29bpre0 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
11 10 rexbidv 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( E. z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> E. z e. B z = [_ R / s ]_ N ) )
12 risset 
 |-  ( [_ R / s ]_ N e. B <-> E. z e. B z = [_ R / s ]_ N )
13 11 12 bitr4di 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( E. z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> [_ R / s ]_ N e. B ) )
14 9 13 mpbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> E. z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) )