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Theorem cdleme50eq

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemef50.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemef50.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemef50.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemef50.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemef50.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemef50.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemef50.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdlemef50.d 
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemefs50.e 
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemef50.f 
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
Assertion cdleme50eq 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) <-> X = Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemef50.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemef50.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemef50.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemef50.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemef50.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemef50.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemef50.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdlemef50.d 
 |-  D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9 cdlemefs50.e 
 |-  E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdlemef50.f 
 |-  F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdleme50lebi 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .<_ Y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdleme50lebi 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ X e. B ) ) -> ( Y .<_ X <-> ( F ` Y ) .<_ ( F ` X ) ) )
13 12 ancom2s 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Y .<_ X <-> ( F ` Y ) .<_ ( F ` X ) ) )
14 11 13 anbi12d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) .<_ ( F ` X ) ) ) )
15 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> K e. HL )
16 15 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> K e. Lat )
17 simprl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
18 simprr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
19 1 2 latasymb 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> X = Y ) )
20 16 17 18 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> X = Y ) )
21 eqid 
 |-  ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) ) = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
22 eqid 
 |-  ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
23 biid 
 |-  ( s .<_ ( P .\/ Q ) <-> s .<_ ( P .\/ Q ) )
24 vex 
 |-  s e. _V
25 8 21 cdleme31sc 
 |-  ( s e. _V -> [_ s / t ]_ D = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) ) )
26 24 25 ax-mp 
 |-  [_ s / t ]_ D = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
27 23 26 ifbieq2i 
 |-  if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) ) )
28 eqid 
 |-  ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
29 1 2 3 4 5 6 7 21 8 9 22 27 28 10 cdleme32fvcl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )
30 29 adantrr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` X ) e. B )
31 eqid 
 |-  if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D )
32 1 2 3 4 5 6 7 26 8 9 22 31 28 10 cdleme32fvcl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) e. B )
33 32 adantrl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` Y ) e. B )
34 1 2 latasymb 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( F ` X ) e. B /\ ( F ` Y ) e. B ) -> ( ( ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) .<_ ( F ` X ) ) <-> ( F ` X ) = ( F ` Y ) ) )
35 16 30 33 34 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) /\ ( F ` Y ) .<_ ( F ` X ) ) <-> ( F ` X ) = ( F ` Y ) ) )
36 14 20 35 3bitr3rd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) <-> X = Y ) )