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Theorem cdleme48gfv

Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemef46g.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemef46g.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemef46g.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemef46g.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemef46g.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemef46g.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemef46g.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdlemef46g.d 
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemefs46g.e 
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemef46g.f 
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
cdlemef46.v 
|- V = ( ( Q .\/ P ) ./\ W )
cdlemef46.n 
|- N = ( ( v .\/ V ) ./\ ( P .\/ ( ( Q .\/ v ) ./\ W ) ) )
cdlemefs46.o 
|- O = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( N .\/ ( ( u .\/ v ) ./\ W ) ) )
cdlemef46.g 
|- G = ( a e. B |-> if ( ( Q =/= P /\ -. a .<_ W ) , ( iota_ c e. B A. u e. A ( ( -. u .<_ W /\ ( u .\/ ( a ./\ W ) ) = a ) -> c = ( if ( u .<_ ( Q .\/ P ) , ( iota_ b e. B A. v e. A ( ( -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( Q .\/ P ) ) -> b = O ) ) , [_ u / v ]_ N ) .\/ ( a ./\ W ) ) ) ) , a ) )
Assertion cdleme48gfv 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) -> ( G ` ( F ` X ) ) = X )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemef46g.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemef46g.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemef46g.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemef46g.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemef46g.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemef46g.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemef46g.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdlemef46g.d 
 |-  D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9 cdlemefs46g.e 
 |-  E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdlemef46g.f 
 |-  F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11 cdlemef46.v 
 |-  V = ( ( Q .\/ P ) ./\ W )
12 cdlemef46.n 
 |-  N = ( ( v .\/ V ) ./\ ( P .\/ ( ( Q .\/ v ) ./\ W ) ) )
13 cdlemefs46.o 
 |-  O = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( N .\/ ( ( u .\/ v ) ./\ W ) ) )
14 cdlemef46.g 
 |-  G = ( a e. B |-> if ( ( Q =/= P /\ -. a .<_ W ) , ( iota_ c e. B A. u e. A ( ( -. u .<_ W /\ ( u .\/ ( a ./\ W ) ) = a ) -> c = ( if ( u .<_ ( Q .\/ P ) , ( iota_ b e. B A. v e. A ( ( -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( Q .\/ P ) ) -> b = O ) ) , [_ u / v ]_ N ) .\/ ( a ./\ W ) ) ) ) , a ) )
15 simpll 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
16 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> P =/= Q )
17 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X e. B )
18 simprr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> -. X .<_ W )
19 17 18 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cdleme48gfv1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) ) -> ( G ` ( F ` X ) ) = X )
21 15 16 19 20 syl12anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( G ` ( F ` X ) ) = X )
22 10 cdleme31fv2 
 |-  ( ( X e. B /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) = X )
23 22 adantll 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) = X )
24 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X e. B )
25 23 24 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) e. B )
26 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) )
27 necom 
 |-  ( Q =/= P <-> P =/= Q )
28 27 a1i 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( Q =/= P <-> P =/= Q ) )
29 23 breq1d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( ( F ` X ) .<_ W <-> X .<_ W ) )
30 29 notbid 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( -. ( F ` X ) .<_ W <-> -. X .<_ W ) )
31 28 30 anbi12d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( ( Q =/= P /\ -. ( F ` X ) .<_ W ) <-> ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) )
32 26 31 mtbird 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> -. ( Q =/= P /\ -. ( F ` X ) .<_ W ) )
33 14 cdleme31fv2 
 |-  ( ( ( F ` X ) e. B /\ -. ( Q =/= P /\ -. ( F ` X ) .<_ W ) ) -> ( G ` ( F ` X ) ) = ( F ` X ) )
34 25 32 33 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( G ` ( F ` X ) ) = ( F ` X ) )
35 34 23 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( G ` ( F ` X ) ) = X )
36 21 35 pm2.61dan 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) -> ( G ` ( F ` X ) ) = X )