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Theorem cdleme32d

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 20-Feb-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme32.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme32.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme32.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme32.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme32.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme32.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme32.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme32.c 
|- C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme32.d 
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.e 
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.i 
|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
cdleme32.n 
|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
cdleme32.o 
|- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
cdleme32.f 
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
Assertion cdleme32d 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme32.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme32.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme32.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme32.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme32.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme32.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme32.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme32.c 
 |-  C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
9 cdleme32.d 
 |-  D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdleme32.e 
 |-  E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
11 cdleme32.i 
 |-  I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
12 cdleme32.n 
 |-  N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
13 cdleme32.o 
 |-  O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
14 cdleme32.f 
 |-  F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
15 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
16 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> X e. B )
17 simp23r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> -. X .<_ W )
18 1 2 3 4 5 6 lhpmcvr2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )
19 15 16 17 18 syl12anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )
20 nfv 
 |-  F/ s ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y )
21 nfcv 
 |-  F/_ s B
22 nfv 
 |-  F/ s ( P =/= Q /\ -. x .<_ W )
23 nfra1 
 |-  F/ s A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) )
24 23 21 nfriota 
 |-  F/_ s ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
25 13 24 nfcxfr 
 |-  F/_ s O
26 nfcv 
 |-  F/_ s x
27 22 25 26 nfif 
 |-  F/_ s if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x )
28 21 27 nfmpt 
 |-  F/_ s ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
29 14 28 nfcxfr 
 |-  F/_ s F
30 nfcv 
 |-  F/_ s X
31 29 30 nffv 
 |-  F/_ s ( F ` X )
32 nfcv 
 |-  F/_ s .<_
33 nfcv 
 |-  F/_ s Y
34 29 33 nffv 
 |-  F/_ s ( F ` Y )
35 31 32 34 nfbr 
 |-  F/ s ( F ` X ) .<_ ( F ` Y )
36 simpl1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
37 simpl2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) )
38 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) ) -> s e. A )
39 simprrl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) ) -> -. s .<_ W )
40 38 39 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) ) -> ( s e. A /\ -. s .<_ W ) )
41 simprrr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) ) -> ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X )
42 simpl3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) ) -> X .<_ Y )
43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cdleme32c 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( s e. A /\ -. s .<_ W ) /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ X .<_ Y ) ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
44 36 37 40 41 42 43 syl113anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
45 44 exp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( s e. A -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) ) )
46 20 35 45 rexlimd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( E. s e. A ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )
47 19 46 mpd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )