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Theorem cdleme22gb

Description: Utility lemma for Lemma E in Crawley p. 115. (Contributed by NM, 5-Dec-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme18d.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme18d.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme18d.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme18d.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme18d.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme18d.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme18d.f 
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme18d.g 
|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme22.b 
|- B = ( Base ` K )
Assertion cdleme22gb 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> G e. B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme18d.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdleme18d.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdleme18d.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdleme18d.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdleme18d.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdleme18d.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7 cdleme18d.f 
 |-  F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
8 cdleme18d.g 
 |-  G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) )
9 cdleme22.b 
 |-  B = ( Base ` K )
10 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> K e. HL )
11 10 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> K e. Lat )
12 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> P e. A )
13 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> Q e. A )
14 9 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
15 10 12 13 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
16 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
17 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> S e. A )
18 1 2 3 4 5 6 7 9 cdleme1b 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ S e. A ) ) -> F e. B )
19 16 12 13 17 18 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> F e. B )
20 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> R e. A )
21 9 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ R e. A /\ S e. A ) -> ( R .\/ S ) e. B )
22 10 20 17 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> ( R .\/ S ) e. B )
23 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> W e. H )
24 9 5 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
25 23 24 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> W e. B )
26 9 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R .\/ S ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. B )
27 11 22 25 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. B )
28 9 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ F e. B /\ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. B ) -> ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) e. B )
29 11 19 27 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) e. B )
30 9 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) e. B )
31 11 15 29 30 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) e. B )
32 8 31 eqeltrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> G e. B )