This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme20i

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, last paragraph on p. 114, antepenultimate line. D , F , Y , G represent s_2, f(s), t_2, f(t). We show (f(s) \/ s_2) /\ (f(t) \/ t_2) <_ p \/ q. (Contributed by NM, 18-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme19.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme19.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme19.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme19.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme19.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme19.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme19.f 
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme19.g 
|- G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
cdleme19.d 
|- D = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
cdleme19.y 
|- Y = ( ( R .\/ T ) ./\ W )
cdleme20.v 
|- V = ( ( S .\/ T ) ./\ W )
Assertion cdleme20i 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme19.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdleme19.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdleme19.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdleme19.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdleme19.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdleme19.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7 cdleme19.f 
 |-  F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
8 cdleme19.g 
 |-  G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
9 cdleme19.d 
 |-  D = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
10 cdleme19.y 
 |-  Y = ( ( R .\/ T ) ./\ W )
11 cdleme20.v 
 |-  V = ( ( S .\/ T ) ./\ W )
12 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
13 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
14 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) )
15 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
16 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( P =/= Q /\ S =/= T ) )
17 simp321 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) )
18 simp322 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) )
19 17 18 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) )
20 simp323 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
21 16 19 20 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) )
22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdleme20f 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) .<_ ( ( ( D .\/ S ) ./\ ( Y .\/ T ) ) .\/ ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) ) )
23 12 13 14 15 21 22 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) .<_ ( ( ( D .\/ S ) ./\ ( Y .\/ T ) ) .\/ ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) ) )
24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdleme20h 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( ( S .\/ R ) ./\ ( T .\/ R ) ) .\/ ( ( S .\/ U ) ./\ ( T .\/ U ) ) ) = ( R .\/ U ) )
25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdleme20g 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( ( D .\/ S ) ./\ ( Y .\/ T ) ) .\/ ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) ) = ( ( ( S .\/ R ) ./\ ( T .\/ R ) ) .\/ ( ( S .\/ U ) ./\ ( T .\/ U ) ) ) )
26 12 13 14 15 21 25 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( ( D .\/ S ) ./\ ( Y .\/ T ) ) .\/ ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) ) = ( ( ( S .\/ R ) ./\ ( T .\/ R ) ) .\/ ( ( S .\/ U ) ./\ ( T .\/ U ) ) ) )
27 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
28 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> P e. A )
29 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> Q e. A )
30 1 2 3 4 5 6 cdleme4 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( R .\/ U ) )
31 27 28 29 15 20 30 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( R .\/ U ) )
32 24 26 31 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( ( D .\/ S ) ./\ ( Y .\/ T ) ) .\/ ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) ) = ( P .\/ Q ) )
33 23 32 breqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )