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Theorem bnj978

Description: Technical lemma for bnj69 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj978.1 
|- ( th <-> ( R _FrSe A /\ X e. A /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) )
bnj978.2 
|- ( th -> z e. _trCl ( X , A , R ) )
Assertion bnj978 
|- ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> _TrFo ( _trCl ( X , A , R ) , A , R ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj978.1 
 |-  ( th <-> ( R _FrSe A /\ X e. A /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) )
2 bnj978.2 
 |-  ( th -> z e. _trCl ( X , A , R ) )
3 1 2 sylbir 
 |-  ( ( R _FrSe A /\ X e. A /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) )
4 3 gen2 
 |-  A. y A. z ( ( R _FrSe A /\ X e. A /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) )
5 bnj253 
 |-  ( ( R _FrSe A /\ X e. A /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) )
6 5 imbi1i 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) <-> ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) )
7 6 2albii 
 |-  ( A. y A. z ( ( R _FrSe A /\ X e. A /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) <-> A. y A. z ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) )
8 3impexp 
 |-  ( ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) )
9 8 2albii 
 |-  ( A. y A. z ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) <-> A. y A. z ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) )
10 19.21v 
 |-  ( A. z ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> A. z ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) )
11 19.21v 
 |-  ( A. z ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) <-> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) )
12 11 imbi2i 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> A. z ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) )
13 10 12 bitri 
 |-  ( A. z ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) )
14 13 albii 
 |-  ( A. y A. z ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) <-> A. y ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) )
15 19.21v 
 |-  ( A. y ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> A. y ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) )
16 df-ral 
 |-  ( A. y e. _trCl ( X , A , R ) A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) <-> A. y ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) )
17 16 bicomi 
 |-  ( A. y ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) <-> A. y e. _trCl ( X , A , R ) A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) )
18 17 imbi2i 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> A. y ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> A. y e. _trCl ( X , A , R ) A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) )
19 14 15 18 3bitri 
 |-  ( A. y A. z ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> ( y e. _trCl ( X , A , R ) -> ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> A. y e. _trCl ( X , A , R ) A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) )
20 7 9 19 3bitri 
 |-  ( A. y A. z ( ( R _FrSe A /\ X e. A /\ y e. _trCl ( X , A , R ) /\ z e. _pred ( y , A , R ) ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) <-> ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> A. y e. _trCl ( X , A , R ) A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) ) )
21 4 20 mpbi 
 |-  ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> A. y e. _trCl ( X , A , R ) A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) )
22 df-ss 
 |-  ( _pred ( y , A , R ) C_ _trCl ( X , A , R ) <-> A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) )
23 22 ralbii 
 |-  ( A. y e. _trCl ( X , A , R ) _pred ( y , A , R ) C_ _trCl ( X , A , R ) <-> A. y e. _trCl ( X , A , R ) A. z ( z e. _pred ( y , A , R ) -> z e. _trCl ( X , A , R ) ) )
24 21 23 sylibr 
 |-  ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> A. y e. _trCl ( X , A , R ) _pred ( y , A , R ) C_ _trCl ( X , A , R ) )
25 df-bnj19 
 |-  ( _TrFo ( _trCl ( X , A , R ) , A , R ) <-> A. y e. _trCl ( X , A , R ) _pred ( y , A , R ) C_ _trCl ( X , A , R ) )
26 24 25 sylibr 
 |-  ( ( R _FrSe A /\ X e. A ) -> _TrFo ( _trCl ( X , A , R ) , A , R ) )