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Theorem bnj1186

Description: Technical lemma for bnj69 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypothesis bnj1186.1 
|- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
Assertion bnj1186 
|- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. B A. w e. B -. w R z )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj1186.1 
 |-  E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
2 19.21v 
 |-  ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) )
3 2 exbii 
 |-  ( E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) <-> E. z ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) )
4 1 3 mpbi 
 |-  E. z ( ( ph /\ ps ) -> A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
5 4 19.37iv 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> E. z A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )
6 19.28v 
 |-  ( A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) <-> ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
7 6 exbii 
 |-  ( E. z A. w ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) <-> E. z ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
8 5 7 sylib 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> E. z ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
9 df-ral 
 |-  ( A. w e. B -. w R z <-> A. w ( w e. B -> -. w R z ) )
10 9 anbi2i 
 |-  ( ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) <-> ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
11 10 exbii 
 |-  ( E. z ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) <-> E. z ( z e. B /\ A. w ( w e. B -> -. w R z ) ) )
12 8 11 sylibr 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> E. z ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) )
13 df-rex 
 |-  ( E. z e. B A. w e. B -. w R z <-> E. z ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) )
14 12 13 sylibr 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. B A. w e. B -. w R z )