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Theorem bnj1171

Description: Technical lemma for bnj69 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj1171.13 
|- ( ( ph /\ ps ) -> B C_ A )
bnj1171.129 
|- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) )
Assertion bnj1171 
|- E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj1171.13 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> B C_ A )
2 bnj1171.129 
 |-  E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) )
3 1 sseld 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( w e. B -> w e. A ) )
4 3 pm4.71rd 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( w e. B <-> ( w e. A /\ w e. B ) ) )
5 4 imbi1d 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( ( w e. B -> -. w R z ) <-> ( ( w e. A /\ w e. B ) -> -. w R z ) ) )
6 impexp 
 |-  ( ( ( w e. A /\ w e. B ) -> -. w R z ) <-> ( w e. A -> ( w e. B -> -. w R z ) ) )
7 5 6 bitrdi 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( ( w e. B -> -. w R z ) <-> ( w e. A -> ( w e. B -> -. w R z ) ) ) )
8 con2b 
 |-  ( ( w R z -> -. w e. B ) <-> ( w e. B -> -. w R z ) )
9 8 imbi2i 
 |-  ( ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) <-> ( w e. A -> ( w e. B -> -. w R z ) ) )
10 7 9 bitr4di 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( ( w e. B -> -. w R z ) <-> ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) )
11 10 anbi2d 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) <-> ( z e. B /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
12 11 pm5.74i 
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) <-> ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
13 12 albii 
 |-  ( A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) <-> A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
14 13 exbii 
 |-  ( E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) ) <-> E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. A -> ( w R z -> -. w e. B ) ) ) ) )
15 2 14 mpbir 
 |-  E. z A. w ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. B /\ ( w e. B -> -. w R z ) ) )