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Theorem bnj1090

Description: Technical lemma for bnj69 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj1090.9 
|- ( et <-> ( ( f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) )
bnj1090.10 
|- ( rh <-> A. j e. n ( j _E i -> [. j / i ]. et ) )
bnj1090.17 
|- ( et' <-> [. j / i ]. et )
bnj1090.18 
|- ( si <-> ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) )
bnj1090.19 
|- ( ph0 <-> ( i e. n /\ si /\ f e. K /\ i e. dom f ) )
bnj1090.28 
|- ( ( th /\ ta /\ ch /\ ze ) -> A. i E. j ( ph0 -> ( f ` i ) C_ B ) )
Assertion bnj1090 
|- ( ( th /\ ta /\ ch /\ ze ) -> A. i e. n ( rh -> et ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj1090.9 
 |-  ( et <-> ( ( f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) )
2 bnj1090.10 
 |-  ( rh <-> A. j e. n ( j _E i -> [. j / i ]. et ) )
3 bnj1090.17 
 |-  ( et' <-> [. j / i ]. et )
4 bnj1090.18 
 |-  ( si <-> ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) )
5 bnj1090.19 
 |-  ( ph0 <-> ( i e. n /\ si /\ f e. K /\ i e. dom f ) )
6 bnj1090.28 
 |-  ( ( th /\ ta /\ ch /\ ze ) -> A. i E. j ( ph0 -> ( f ` i ) C_ B ) )
7 impexp 
 |-  ( ( ( i e. n /\ si ) -> et ) <-> ( i e. n -> ( si -> et ) ) )
8 7 exbii 
 |-  ( E. j ( ( i e. n /\ si ) -> et ) <-> E. j ( i e. n -> ( si -> et ) ) )
9 4 imbi1i 
 |-  ( ( si -> et ) <-> ( ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) -> et ) )
10 9 exbii 
 |-  ( E. j ( si -> et ) <-> E. j ( ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) -> et ) )
11 10 imbi2i 
 |-  ( ( i e. n -> E. j ( si -> et ) ) <-> ( i e. n -> E. j ( ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) -> et ) ) )
12 19.37v 
 |-  ( E. j ( i e. n -> ( si -> et ) ) <-> ( i e. n -> E. j ( si -> et ) ) )
13 2 bnj115 
 |-  ( rh <-> A. j ( ( j e. n /\ j _E i ) -> [. j / i ]. et ) )
14 3 imbi2i 
 |-  ( ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) <-> ( ( j e. n /\ j _E i ) -> [. j / i ]. et ) )
15 14 albii 
 |-  ( A. j ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) <-> A. j ( ( j e. n /\ j _E i ) -> [. j / i ]. et ) )
16 13 15 bitr4i 
 |-  ( rh <-> A. j ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) )
17 16 imbi1i 
 |-  ( ( rh -> et ) <-> ( A. j ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) -> et ) )
18 19.36v 
 |-  ( E. j ( ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) -> et ) <-> ( A. j ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) -> et ) )
19 17 18 bitr4i 
 |-  ( ( rh -> et ) <-> E. j ( ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) -> et ) )
20 19 imbi2i 
 |-  ( ( i e. n -> ( rh -> et ) ) <-> ( i e. n -> E. j ( ( ( j e. n /\ j _E i ) -> et' ) -> et ) ) )
21 11 12 20 3bitr4i 
 |-  ( E. j ( i e. n -> ( si -> et ) ) <-> ( i e. n -> ( rh -> et ) ) )
22 8 21 bitr2i 
 |-  ( ( i e. n -> ( rh -> et ) ) <-> E. j ( ( i e. n /\ si ) -> et ) )
23 impexp 
 |-  ( ( ( ( i e. n /\ si ) /\ ( f e. K /\ i e. dom f ) ) -> ( f ` i ) C_ B ) <-> ( ( i e. n /\ si ) -> ( ( f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) ) )
24 bnj256 
 |-  ( ( i e. n /\ si /\ f e. K /\ i e. dom f ) <-> ( ( i e. n /\ si ) /\ ( f e. K /\ i e. dom f ) ) )
25 24 imbi1i 
 |-  ( ( ( i e. n /\ si /\ f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) <-> ( ( ( i e. n /\ si ) /\ ( f e. K /\ i e. dom f ) ) -> ( f ` i ) C_ B ) )
26 1 imbi2i 
 |-  ( ( ( i e. n /\ si ) -> et ) <-> ( ( i e. n /\ si ) -> ( ( f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) ) )
27 23 25 26 3bitr4i 
 |-  ( ( ( i e. n /\ si /\ f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) <-> ( ( i e. n /\ si ) -> et ) )
28 22 27 bnj133 
 |-  ( ( i e. n -> ( rh -> et ) ) <-> E. j ( ( i e. n /\ si /\ f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) )
29 28 albii 
 |-  ( A. i ( i e. n -> ( rh -> et ) ) <-> A. i E. j ( ( i e. n /\ si /\ f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) )
30 df-ral 
 |-  ( A. i e. n ( rh -> et ) <-> A. i ( i e. n -> ( rh -> et ) ) )
31 5 imbi1i 
 |-  ( ( ph0 -> ( f ` i ) C_ B ) <-> ( ( i e. n /\ si /\ f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) )
32 31 exbii 
 |-  ( E. j ( ph0 -> ( f ` i ) C_ B ) <-> E. j ( ( i e. n /\ si /\ f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) )
33 32 albii 
 |-  ( A. i E. j ( ph0 -> ( f ` i ) C_ B ) <-> A. i E. j ( ( i e. n /\ si /\ f e. K /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) )
34 29 30 33 3bitr4i 
 |-  ( A. i e. n ( rh -> et ) <-> A. i E. j ( ph0 -> ( f ` i ) C_ B ) )
35 6 34 sylibr 
 |-  ( ( th /\ ta /\ ch /\ ze ) -> A. i e. n ( rh -> et ) )