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Theorem 2reu5lem2

Description: Lemma for 2reu5 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017)

Ref Expression
Assertion 2reu5lem2 
|- ( A. x e. A E* y e. B ph <-> A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-rmo 
 |-  ( E* y e. B ph <-> E* y ( y e. B /\ ph ) )
2 1 ralbii 
 |-  ( A. x e. A E* y e. B ph <-> A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) )
3 df-ral 
 |-  ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
4 moanimv 
 |-  ( E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
5 4 bicomi 
 |-  ( ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) <-> E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
6 3anass 
 |-  ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
7 6 bicomi 
 |-  ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
8 7 mobii 
 |-  ( E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
9 5 8 bitri 
 |-  ( ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) <-> E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
10 9 albii 
 |-  ( A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) <-> A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
11 3 10 bitri 
 |-  ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
12 2 11 bitri 
 |-  ( A. x e. A E* y e. B ph <-> A. x E* y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )